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本溪县实验小学·于凯·教学论文《数学史与小学数学教学》
日期:2018-01-02    来源:本溪县实验小学    作者:于凯   浏览次数:135

摘要:基础教育课程改革中提出在数学课程中体现数学的文化价值。本文通过笔算乘法发展史料的研究而寻找数学史和小学数学教育的结合点,引入小学数学教学与数学史的历史文化向度的思考。认为历史文化向度的教学可以引导学生体会数学思想的发展过程,提供进一步探索与创造的学习氛围,使学生欣赏到不同的数学文化风格等,应该是小学数学课堂教学的另一种尝试。同时教师参考数学史料将对数学教学提供一种预见与指引。
论文关键词:数学史,小学数学教学,竖式乘法

数学史在数学教育中的积极作用已经成为数学教育界的共识。因此基础教育课程改革提出以数学史为载体树立数学文化观,发挥数学史的教育价值[1]。现行小学数学教材选编了一些数学史资料,主要呈现方式包括“以数学趣题引入新的内容,或插入某位数学家的画像并介绍其生平,或是在课后附加一则阅读材料等”[2]主要目的是为了激发小学生学习数学的兴趣,培养一种科学探究的精神。然而“数学史引入中小学数学课程中,绝非简单的移植和嫁接。在对古代数学的概念、思想、方法作认真的思考和清理之后,应进一步探索如何在课程和教学中将其展现,让学生体会前人对这些内容的探索过程,并尝试利用他们的思想方法去解决一些相关的问题。”因此教师在应用数学史之前要做好史料梳理,根据教材内容对相关史料进行价值确立、内容选择和形态的转化。

乘法是小学数学中一种重要的数学运算,我们可以简单的认为它是加法运算的升级,当一个数要重复加多次时,便产生了乘法。当我们要计算数值比较大的两个数相乘时,首先会想到的就是用竖式乘法进行笔算。本文通过考察竖式乘法的历史发展过程,提供了一种历史文化向度的思考,希望能为有识之师借鉴一二。

2“竖式乘法”史料分析

早在古埃及纸草书(大约在3000年之前)上就记载着一种乘法——倍乘法,但它还不具有现代笔算乘法的形式。所谓倍乘法就是逐次扩大2倍(duplication)的方法。我们以现代的符号和术语为例来说明(见图1)。例如:32×13=416

数学史

大家发现上面算法的规律了吗?原来,乘数13可以分解成1+4+8,并在左列1,4,8的左侧作上标记,把右侧的对应的积相加,即可算得32×13的结果了。到了1564年,我们仍然可以从德国数学家施蒂费尔的著作中看到这种算法的痕迹。以42×31=1302为例(见图2),倍乘法很好理解,但是如果倍数比较大时,写起来就比较麻烦了。

与现在竖式乘法相仿的最早形式是中国的筹算乘法。其中筹算乘法分为三层,以上位、中位和下位为序分别为:乘数、积和被乘数。先用乘数的最高位上的数去乘被乘数,乘完后去掉这位的算筹。再用乘数的次高位去乘被乘数,同样,乘好后去掉相应位的算筹,两次之积对应位上的数相加,以此类推,乘完为止。图3至图5展示了32×13=416的计算过程。计算时把多位数变成一位数去乘多位数,乘一位加一位。计算原理和我们现在惯用的竖式乘法完全一致,只是计算和书写的顺序有所差别。

数学史 数学史

综上我们可以看出,古代中国的乘法运算的书写形式与现代竖式乘法的形式还是有较大的差别的,然而古代印度著名的数学家、天文学家婆什迦罗(1114-1185?)大约在900多年之前给出了一种乘法运算形式,小学数学论文后来被意大利数学家帕乔利(Pacioli,Luca,1445-1517?)在他的著作《算术、几何、比与比例集成》(1494)中载述,此种方法已经有了现在竖式乘法的雏形。例如175×13=2275的计算,书中给出了图6和图7两种运算形式,如下

小学数学教学

175 175

13 13

13 175

91 525

65 2275

2275 图7

图6

这两种算法的书写形式和我们现在的竖式乘法比较接近,但从计算顺序和写法上还是有差别的。从图7中可以看出,在计算时是把多位的被乘数进行拆分,再用乘数去乘被乘数的每一位上的数字,也就是先用被乘数的最高位上的数字去乘乘数13,得13,再用次高位上的数字7去乘13,…,依次下去,再把所得的积右错位相加。但根据乘法符合交换率,因此其中的运算原理也易于理解。而图8的算法是用被乘数去乘乘数的每一位,同样从乘数的最高位算起,这种算法和中国古代的算法原理相同,最后右错位相加。

随着人们对乘法算法的进一步研究,到了文艺复兴时期,便出现了与现代的竖式乘法最接近的形式。此种形式最早也是被记载在帕乔利的《算术、几何、比与比例集成》(1494)中,例如175×13,见图9:

这种形式与现代竖式乘法(图10)的写法略有差异,但计算顺序和计算原理是完全相同的。

同时大家可以发现,从古埃及到文艺复兴时期,在乘法的发展过程中一直没有乘号“×”的身影。那是因为乘号从早期用语言描述到有现代的符号同样经过了许多年的发展,到17世纪后“×”才作为乘法符号被广泛使用。

其实在乘法的演进过程中,还出现了一些比较新颖的乘法式。例如,Gelosia Method方法。此方法最早出现在印度人的著作中,后来传到阿拉伯、欧洲和中国[5]。回教数学家阿尔卡西 (Ghithyâth al-Dîn Jamshîd al-Kâshî,?-1429 )在著作《算数者之钥》(Miftâh al-hisâb)中详细探讨了此方法。此方法指的是:运用画方格图,并且在每一方格中画上对角线以进行乘法运算的方法[4],它有两种呈现方式,即对角线斜左(图10)与斜右(图11),其算法原理是相似的,对角线斜左更简洁一些。仅以716×98为例来介绍给大家。

数学史与小学数学教学:历史文化向度的思考—以竖式乘法为例

小学数学教学

3 教学启示

首先,在课堂里,我们常常这样看待数学,好像我们是在一个孤岛上学习似的,…,学生们觉得数学是封闭的、呆板的、冰冷无情的、一切都已发现好的(Bidwell,1993)。而教育家们相信,有效的学习要求每个学习者回溯所学学科历史演进的主要步骤。因此,在教学中,可以利用数学史引起认知冲突,对比古今,更好的理解现代算法的原理和优点,达到概念的同化。比如,新知(教材中的竖式乘法形式)讲授完毕之后,自然可以提出“是不是有了乘法运算就有了这种形式呢?如果不是,那么竖式乘法是如何演变而来的呢?”,把学生们从孤岛中解救出来,激起学生追根溯源的兴趣。教师可以直接将这个“生机勃勃的新大陆”展示给学生们,也可以让学生通过网络和历史书籍自己整理,探知前人的认知历程,激发他们对于人类千百年来在该领域中所取得的成果的热爱与崇敬。

其次,在现行小学数学教材中,两位数以上的乘法运算(除了可以简便运算的)大多是采用现代竖式运算形式进行笔算,如图10。这种乘法运算形式简洁,小学生也比较容易了解其中的运算原理。